matematica I

INTRODUCCIÓN

En este Capitulo se considera los temas de la teoría de exponentes y sus propiedades principales, las ecuaciones exponenciales que nos permiten transformarlos y simplificarlos (siempre manteniendo la igualdad) para poder sacar conclusiones de ellos, estas son las llamadas ecuaciones, en donde existe un valor desconocido y por medio de ciertos procedimiento se puede llegar al valor de esta variable, siempre y cuando esta exista, con la existencia de soluciones nos referimos que estas están en el campo de los números reales, pero dentro de las soluciones antes mencionadas, las ecuaciones de primer grado, exponente de la variable desconocida es uno, la solución es una sola y esta siempre existe, para el caso de las ecuaciones de mayor grado, esta solución no siempre existe, y además si existe la cantidad de soluciones son siempre menor o igual al grado de la variable, pero generalmente, ya sea en la naturaleza o en otros casos, uno busca determinar los elementos que conforman un conjunto de soluciones y además que cumplan con alguna condición, para poder cuantificar y poder poner en lenguaje matemático ya no nos sirve la relación de igualdad, pues esta establece exactamente los elementos que son idénticos en la coedición pedida, es por casos como este que aparecen las llamadas inecuaciones, esta relaciona elementos por medio de la desigualdad y en algunos casos también considera la igualdad dentro de los posibles resultados, las inecuaciones están basados en los axiomas de orden como condición primaria .Las inecuaciones entregan un conjunto de soluciones independiente del grado de la inecuación.







1. POTENCIACION y RADICACION
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
1.1. Potenciación
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:

Representación:
Exponente


Potencia = A n = A x A x A x A x….x A “n” veces
Base

Ejemplo: 23= 2 x 2 x 2 = 8 (3 veces 2)

1.1.1. Propiedades de la Teorías de Exponentes.-

Productos De Bases Iguales
A m x A n = A m + n
Cocientes De Bases Iguales


Producto de bases diferentes e iguales potencias

A m x B m = (A x B )m



Cocientes de bases diferentes e igual potencia


Potencia de potencia
(A m) n = A m x n
Potencia de potencia de potencia



Exponente negativo

Exponente negativo de un cociente



Exponente cero o nulo

A0 = 1

Raíz de una potencia



Producto de radicales homogéneos



Cociente de radicales homogéneos



Potencia de un radical




Radical de radical


1.2. Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Ejercicios propuestos

01. Reducir:
C=

02. Simplificar:

03. Simplificar:


04. Realizar:

05. Realizar:

06. Efectuar:


2. LOGARITMOS
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.
2.1. Definición de logaritmo:
Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.
Se lee: "el logaritmo en base a del número x es b”, o también: "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a “.
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab
Para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales:
Es la función inversa de la función exponencial.
La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)
2.2. Propiedades:

2.3. Logaritmos Decimales:
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
2.4.Logaritmos Neperianos:
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.
2.5. Cambio de Base:


2.6. Antilogaritmo:
Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.
es decir, consiste en elevar la base al número resultado :
2.7. Cologaritmo:
Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.
2.8. Equivalencias útiles:
2.9. Ecuaciones Logarítmicas:
Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.
La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")
Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.
2.10. Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
Si a > 1Los números menores que 1 tienen logaritmo negativoLos números mayores que 1 tienen logaritmo positivo
Si 0 < a < 1Los números menores que 1 tienen logaritmo positivoLos números mayores que
Ejercicios Propuestos

1. Efectuar: M =
2. Simplificar: C =
3. Si Log2 [Log3 (x-2)] = 2.
Entonces “x” es:
4. Dada la ecuación:
Log [2 + Log2 (x-3)] = 0
Calcular: “x”
5. Determinar “x” en:
Log2 x + Log2(x-6) = 4
6.Reducir:
7.Simplificar: V =
8.Calcular:
C =
9. Efectuar r:
10. Calcular: M =
11. Efectuar: M =
12. Simplificar: C =
13. Hallar “x” en:
14. Resolver:

3. ECUACIONES
3.1. Ecuaciones
Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita
Como ejemplo, se resolverá


Nota:
A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas, y en base a esto, a la ecuación la denotaremos por:
P(X) = T(X)
Donde:
P(X) : Primer miembro
T(X) : Segundo miembro
Solución de una ecuación
Es aquel valor de la variable que transforma a la ecuación en una proposición verdadera.
Conjunto solución de una ecuación (c.s.)
Es aquella colección de todas las soluciones de una ecuación.
3.1.1.Forma general de la ecuación
De la notación de una ecuación, tenemos:
P(x) = T(x) Þ P (x) – T(x) = 0

F(x)
Con lo cual se obtiene: F(x) = 0; el cuál es llamado Forma General de la Ecuación.
3.1.2.Clasificación de las ecuaciones
De acuerdo a su forma:
En general F(x) = 0 y teniendo presente qué clase de expresión representa F(x), podemos indicar el siguiente esquema:
ECUACIÓN
Algebraica
No algebraica
Polinomial
Fraccionaria
Irracional
Exponencial
Logarítmica
Trigonométrica










De acuerdo a su conjunto solución:
A las ecuaciones las podemos dividir en el siguiente cuadro:
ECUACIÓN
Incompatible
(C.S=Æ)
Compatible
(C.S¹f)
Determinada
(C.S. Finito)
Indeterminada
(C.S. Infinito)









Análisis de la ecuación paramétrica en variable “X”
AX = B…………… (*)
Caso I:
Si A = 0 ( y sin importar el valor de B)
Es compatible determinada.
Caso II:
Si A = 0 y B=0, es compatible indeterminada.
Caso III:
Si A = 0 y B ¹ 0 es incompatible.

3.2. Sistemas de ecuaciones
Ecuaciones lineales con más de dos variables. Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar el método de eliminación por sustitución o el método de eliminación por suma o resta (por adición o sustracción). El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.

Métodos de resolución:

· Eliminación por Reducción
· Eliminación por Sustitución

Método de eliminación por reducción Ejemplo


Método de eliminación por sustitución: Ejemplo

4. CLASES DE NÚMEROS
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc.
En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.
4.1 Número natural (IN)
Un número natural es cualquiera de los números: 0,1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.
4.2. Número entero (Z)
Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un subconjunto de los enteros.
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.
Históricamente, durante mucho tiempo fueron rechazados por creer que "no existían" y no fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado.
Conjunto Z




consecutividad numérica




4.3. Número racional (Q)
En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros.
El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Q = x =
a : numerador
b : denominador
x : cuociente
4.4. Los números irracionales (I)
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales.
Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse número irracional como decimal infinito no periódico.
Toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1.4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1.4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1.4142135... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:
π (Pi) =(3,1415926535...) e = (2,7182818284...)



4.4.1. Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
2.4.1.1 - Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.
Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:
x2 − x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.
2.4.1.2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0.193650278443757 ... ; 0.101001000100001 ...
4.5. Número real (IR)
Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra . El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
4.6. Número complejo (C)
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más dignas de la inteligencia humana.
C
4.7 Diagrama de conjuntos
IR
QIN: Naturales
ZZ: Enteros
Q: Racionales
IN
I I: Irracionales
IR: Reales
C: Complejos



























5. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la presición del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante Universitario.
5.1. Conjunto: Se entiende por conjunto a una colección , agrupación o reunión de objetos llamados elementos.
5.2. Notación de un conjunto:
A los conjuntos se les denota con la letras mayúsculas A, B, C, D, ....y sus elementos con las letras minúsculas a, b , c , ....
Ejemplo.
A = { a , b , c , d }
5.3. Determinación de un conjunto
por extensión : Un conjunto A esta determinado por extensión cuando se menciona uno por uno todos sus elementos .
Ejemplo.
A = {0 , 1 ,3 ......}
por comprensión: Un conjunto A esta determinado por comprensión cuando se anuncia una ley o una función que permite conocer que los elementos lo cumplan y por tanto deben pertenecer al conjunto A.
Ejemplo:
A = {x /x =(2n-1) y x N }
Donde N = números naturales
5.4. Clases de conjuntos por un numero de elementos
5.4.1 Conjunto vació: Es aquel conjunto que no tiene elementos .
Ejemplo.
A = {Es el conjunto de mujeres que tienen tres piernas }
5.4.2 conjunto unitario : Es aquel conjunto que contiene un solo elemento.
Ejemplo : A = { 0 }
5.4.3 conjunto universal : Denotado por U es aquel que contiene a todos los elementos que están siendo considerados.

4.4.4 conjunto finito y conjunto infinito
5.5. Relación entre conjuntos
5.5.1 Inclusión: Se dice que el conjunto ‘A’ esta contenido en conjunto ‘B’ cuando todos los elementos de ‘A’ pertenecen ‘B’ .
A B x A x B
Ejemplo:
A = {a , b } B = {a , b c, d }
conjuntos iguales : Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos
Su forma simbólica es A = B
Ejemplo:
A = {a , b , c ,d } B = {a , c, b, d } A = B
5.5.3 conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común es decir todos sus elementos de un conjunto son diferentes a los elementos de otro conjunto.
Ejemplo:
A = {a , b , c ,d } B = {1, 2 ,3 ,4}
5.5.4conjunto potencia: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado .
notación : P(A) se lee potencia de un conjunto A .
El número de subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto es
Siendo ‘n’ el numero de elementos integrantes del conjunto.
Ejemplo:
Si se tiene: A = {a , b }
P(A) = {{a};{b};{a ,b} }
5.5.5 conjuntos de conjuntos. Ocurre cuando los elementos de un conjunto son a la vez conjuntos; para evitar decir conjunto de conjuntos se suele decir ´´ familia de conjuntos ´´ En este caso se denota por las letras mayúsculas inglesas.
5.6. Diagramas de venn- euler.
Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones y constituyen una poderosa herramienta geométrica.
A continuación representamos algunos conjuntos y verificamos algunas igualdades ( las intersecciones de dos o mas conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple )

A B A B A - B


( A B) C
EJEMPLOS
1. De 180 alumnos de una Academia Pre- Universitaria que gustan de los cursos “Razonamiento Matemático”, “ Álgebra” o “Aritmética” se supo que:
- 34 gustan de “Razonamiento Matemático” pero no de “Álgebra”.
b.- 28 gustan de “Razonamiento Matemático” pero no de “Aritmética”.
c.- 16 gustan de “Álgebra” pero no de “Razonamiento Matemático”.
d.- 24 gustan de Álgebra pero no de “Aritmética”.
e.- 48 gustan de “Aritmética” pero no de “Razonamiento Matemático”.
f.- 18 gustan de “Aritmética pero no de “Álgebra”
¿ A cuantos jóvenes le gustan los 3 cursos mencionados?
solución
Llevando a nuestros datos tenemos:
a + p = 34
a + q = 28
b + r = 16
b + q = 16
c + r = 48
c + p =18
2a+ 2b + 2c+ 2p+ 2q + 2r= 168
a + b + c + p + q + r = 84
Pero
a + b + c + p + q + r + x = 180

84 + x = 180
x = 96. Rpta: A 96 alumnos les gusta los tres cursos.
2.- En una encuesta realizada para analizar la preferencia del publico por los productos A , B y C se obtuvieron los siguientes resultados .
- 60 prefieren A
- 59 prefieren B
- 50 prefieren C
- 28 prefieren A y B
- 15 prefieren B y C
- 12 prefieren A y C
- 10 prefieren A , B y C
Se pregunta :
1.- ¿ cuantas personas prefieren solo dos productos ?
2.- ¿ cuantas personas prefieren los productos A y B pero no C ?
3.- ¿ cuantas personas prefieren los productos B y C pero no A ?
4.- ¿ cuantas personas prefieren los productos A y C pero no B ?
5.- Si el numero total de personas encuestadas es 100 , ¿cuántas personas no prefieren ninguno de los productos ?
6.- ¿ cuantas personas prefieren los productos solo ‘ A’ solo ‘B’ solo ‘C’ ?
solución.

a + d + e + f = 60 --------- 1 e = 28
b + e + f +g = 59 ---------- 2 g = 15
d + f + g +c = 50 ---------- 3 donde * d = 12
f = 10
Reemplazando * en 1 tenemos que a = 10
Reemplazando * en 1 tenemos que b = 6
Reemplazando * en 1 tenemos que c = 13
1.- Prefieren solo 2 productos : 28 + 12 + 15 = 55 personas.
2.- Prefieren ‘A’ y ‘ B’ pero no ‘ C ’ 28 personas.
3.- Prefieren ‘B’ y ‘ C’ pero no ‘ A ’ 15 personas
4.- Prefieren ‘A’ y ‘ C’ pero no ‘ B ’ 12 personas.
5.- No prefieren ninguno de los 3 productos 28 productos :
100 – 60 + 6 +15 13 = 6
6.- Solo ‘A’ solo ‘B’ solo ‘C’
10 6 13


Ejercicios propuestos

1.Sean A = {1,3,5} B = {2,3,4,5} , U = {0,1,2,3,4,5,6}. Se pide obtener los siguientes conjuntos:
a) A Ç B b) A È B c) A-B d) B-A e) AC f) BC g)(AÈB)C h)(A Ç B)C i) AC È BC j)AC Ç BC k) AC - B l) AÈ (B-A) m) B-BC n)(A-B) - (B-A) o) B-(AÇB) p) P(A) q) P(AÇB) r) P(B-A)
2. Encuestadas 150 personas, se obtuvo que 81 de ellas lee el diario El Sur, que 62 leen un diario de Santiago y que 39 leen de los 2 tipos. ¿Cuántas personas no leen ningún diario?, ¿cuántos leen sólo el diario El Sur? , ¿Cuántos sólo leen un diario de Santiago?. Represente lo anterior en un diagrama de Venn.
3. Una encuesta de 90 alumnos sobre idiomas extranjeros, arrojó el siguiente resultado: 52 pueden leer Inglés, 40 pueden leer Francés, 34 pueden leer Alemán, 19 pueden leer Inglés y Francés, 12 pueden leer Francés y Alemán y 6 pueden leer los 3 idiomas. ¿Cuántos pueden leer solamente inglés? , ¿Cuántos no pueden leer ninguno de los 3 idiomas?, ¿cuántos pueden leer sólo un idioma?. (Como en 2, resolver representando los conjuntos en un diagrama de Venn).
4. Consultados 40 alumnos ingresados al Bachillerato por sus intenciones de estudiar Ingeniería en Construcción (C), Ingeniería Civil Industrial (CI) e ingeniería en Informática (I), se obtuvo la siguiente información: un total de 15 alumnos mencionan CI, 19 alumnos mencionan C, 20 alumnos mencionan I.
Entre estos, se obtuvo que:
- 2 de ellos mencionaron las 3 carreras
- 5 mencionaron las carreras IC y C
- 3 mencionaron las carreras C y I
¿Cuántos alumnos tienen seguridad de la carrera a elegir?
¿Cuántos alumnos no estudiarán ninguna de las carreras mencionadas?

5. Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
6.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
7.Dados U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , A = { 1 , 3 , 5 } , B = { 4 , 5 } , C = { 2 , 4 , 5 } y D = { 2 , 3 } , efectúa las siguientes operaciones:
1 ) AÈB 2 ) CÈD 3 ) BÇC 4 ) AÇD 5 ) AÇBÇC 6 ) BÈCÈD 7 ) ( AÈD )ÇC 8 ) ( CÇD )ÈA 9 ) A - C 10 ) C - A 11 ) D - B 12 ) ( CÈA ) - B 13 ) D - ( AÇB ) 14 ) ( A - D )Ç( C - B ) 15 ) ( B - A )È( D - C ) 16 ) B¢ 17 ) C¢ 18 ) A¢ÈD 19 ) B¢ÇC 20 ) ( DÇC )¢
8.En una encuesta realizada entre los estudiantes de una universidad se obtuvo los siguientes resultados.
El 60% usan el producto A
el 50% usan el producta B
el 80 % usan el producto C
200 Alumnos no usan estos productos ­
Cuantos alumnos fueron encuestados.
9. En una ciudad se determino que.
A la cuarta parte de la población no le gusta la natación y el fútbol,
A la mitad les gusta la natación
A los 5/12 les gusta el fútbol
A que parte de la población les gusta solamente uno de los deportes mencionados.
10. En una encuesta a 170 comerciantes que laboran en el centro de Trujillo se tiene.
30 son sordos y venden libros
32 que oyen música pero venden libros
75 que venden libros pero no oyen música
55 son sordos ,
60 oyen música
cuantos son los que no oyen música ,no venden libros ni son sordos .
11. De 120 alumnos que rindieron una prueba que contienen los cursos A, B y C se sabe que .
Se anulo 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso
los que aprobaron A desaprobaron B y C
Hay 20 alumnos que aprobaron B y C
Cuantos aprobaron un solo curso .
12. Se tomo una encuesta a 300 personas sobre preferencia de 3 diarios A, B y C , averiguando que.
250 leen A o B
100 leen A pero no leen B
120 leen B pero no leen A
20 no leen estos diarios
No mas de 10 leen los 3 diarios
Cuantas personas , como mínimo , leen A y B pero no C
13. En una aula de clases .
40 tienen el libro de aritmética , 30 el de física y 30 el de geometría
A doce de ellos les falta solo el libro de física , a 8 solo el libro de geometría y a 6 solo el de aritmética
5 tienen los 3 libros y 6 no lo tienen estos libros
cuantos alumnos hay en el aula.
14. De un grupo de 41 estudiantes de idiomas que hablan Ingles , francés o alemán , son sometidos a un examen de verificación , en el cual se determino que.
22 hablan ingles y 10 solamente ingles
23 hablan francés y 8 solamente francés
19 hablan alemán y 5 solamente alemán
cuantos hablan ingles , francés y alemán
15. de un total de 99 personas , 5 hablan ingles y español únicamente , 7 español y alemán únicamente y 8 ingles y alemán únicamente . si los números de personas que hablan alemán , español e ingles son el doble , el triple y el cuádruplo del numero de personas que hablan los 3 idiomas respectivamente.
Cuantas personas hablan español .
16. De un total de 100 alumnos que postularon a la U.N.I. 40 aprobaron aritmética y física , 39 química y geometría , mientras que 48 aprobaron álgebra y trigonometría , 10 aprobaron los 6 cursos , 221 no aprobó curso alguno , 9 aprobaron aritmética , geometría , física y química solamente , 19 no aprobaron física , ni geometría , ni química ni aritmética pero si los otros dos cursos . Halle el numero de alumnos que aprobaron solo dos cursos .
17 . En un conjunto de 132 personas , se sabe que el numero de los que sabem Word, Excel y Acces es igual a .
1/6 de los saben solo Word
1/5 de los que saben solo Excel
1/4 de los que saben solo Access
1/2 de los saben solo Word y Excel
1/3 de los que saben solo Word y Access
1/4 de los que saben solo Excel y Access
Cuantos saben Word o Excel
18. Si A = [2,5], B = [-3,3] , C = [-3,7] ,encontrar en términos de intervalos:
a)A È B b) A Ç B c) B-A d)C-B e) C-A f) C-(AÈB) g) C-(AÇB) h) (AÈB)-(BÈC) i)B-C





19. Resolver: 2x +10 < 2x +12 < x +11
20.Hallar el conjunto solución de:
21. Hallar el conjunto solución de:
a. b.


6. ECUACIÓN DE 2do GRADO
6.1. Ecuación 2º grado y una incógnita
Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:
Esta última ecuación parece, a simple vista, de primer grado, pero si se opera en ella,
x + 1 = 2x (x - 1) Û x + 1 = 2x2 - 2x, se observa que es una ecuación de segundo grado.
Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x respectivamente y c es el término independiente.
6.2. Ecuación de segundo grado completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
La expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0.
6.3. Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
6.4
Para transformar una ecuación cualquiera de segundo grado en la forma ax2 + bx + c = 0, se siguen, si procede, los siguientes pasos:
1. Se quitan paréntesis, teniendo en cuenta el signo que les precede.
2. Se quitan los denominadores multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los mismos.
3. Se pasan todos los términos de la ecuación al mismo lado del signo =.
4. Se reducen los términos semejantes.
5. Se ordenan los términos según el orden decreciente de los exponentes de x:
ax2 + bx + c = 0.
Una vez obtenida esta expresión, si la ecuación puede simplificarse, porque todos sus coeficientes sean múltiplos de algún número, debe hacerse, con el fin de facilitar las operaciones posteriores.
Si el término en x2 fuese negativo, se multiplicaría toda la ecuación por -1, obteniéndose así otra ecuación equivalente con el término de mayor grado positivo.
Ejercicio: ecuaciones de segundo grado
1. Expresar la ecuación 3x2 - 2x + 1 = 5 en la forma ax2 + bx + c = 0, indicando los valores de los coeficientes a, b y c.
Resolución:
1. Se pasan todos los términos al mismo lado del signo =, y se reducen los términos semejantes:
3x2 - 2x + 1 - 5 = 0 è 3x2 - 2x - 4 = 0
a = 3 es el coeficiente del término en x2.
b = -2 es el coeficiente del término en x.
c = -4; es el término independiente.
La ecuación es completa. Ninguno de sus coeficientes es cero.
Resolución:
1. La x que está dividiendo en el primer miembro pasa a multiplicar al segundo:
15 = (8 + x) × x
2. Se quitan paréntesis: 15 = 8x + x2.

3. Se pasan todos los términos al mismo miembro y se ordenan:
15 - 8x - x2 = 0 Þ -x2 - 8x + 15 = 0.
4. Si en lugar de pasar los términos al primer miembro, se pasan al segundo, la ecuación resultante es:
0 = x2 + 8x - 15, ecuación equivalente a la anterior.
En la ecuación -x2 - 8x + 15 = 0, a = -1; b = -8 y c = 15
En la ecuación x2 + 8x - 15 = 0, a = 1; b = 8 y c = -15
Los coeficientes son iguales pero de signos contrarios.
Para pasar de una ecuación a otra basta con multiplicar por -1.

6.5. Expresar en la forma ax2 + bx + c = 0, la ecuación


Resolución:
1. Se quitan paréntesis:

2. Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (2, 3, 5) = 30
15(3x + 3) - 10(2x - 2) = 6(x2 + 2x + x + 2);
45x + 45 - 20x + 20 = 6x2 + 12x + 6x + 12);
45x + 45 - 20x + 20 - 6x2 - 12x - 6x - 12 = 0.
3. Se reducen términos semejantes: 7x - 6x2 + 53 = 0
4. Se ordena la ecuación resultante: -6x2 + 7x + 53 = 0.
Esta ecuación también puede expresarse así: 6x2 - 7x - 53 = 0.
Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos:
A. ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
B. ax2 + bx = 0; si c = 0.
C. ax2 + c = 0; si b = 0.
A. ax2 = 0.
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución única x = 0.
B. ax2 + bx = 0.
Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0.
Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero:
En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen dos soluciones:
C. ax2 + c = 0.
la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejercicio: resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
Resolución:
2. Resolver las ecuaciones a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0; c) x2 - x = 0.
Resolución:
a) 2x2 + 4x = 0

1. Sacando factor común x, resulta:

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = -2.
b) -3x2 + 2x = 0
1. Sacando factor común x, resulta:


c) x2 - x = 0
1. Sacando factor común x, resulta:

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = 1.
3. Resolver las ecuaciones a) 3x2 - 27 = 0; b) 3x2 + 27 = 0; c) -25x2 + 4 = 0.
Resolución:
a) 3x2 - 27 = 0
La ecuación tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3.
b) 3x2 + 27 = 0
El radicando, -9, es un número negativo, luego no tiene raíz. La ecuación, por lo tanto, no tiene solución.
c) -25x2 + 4 = 0

6.5. Resolución de ecuaciones de 2º grado completas.
Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero.
Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

Esta fórmula se obtiene a través de las siguientes transformaciones de la ecuación de partida ax2 + bx + c = 0.
1. Se resta c en los dos miembros de la ecuación:
ax2 + bx = -c
2. Se multiplican los dos miembros de la ecuación por 4a (se puede hacer puesto que a ¹ 0):
4a(ax2 + bx) = 4a(-c) Þ 4a2x2 + 4abx = -4ac
3. Se suma b2 en los dos miembros de la ecuación:
4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
4. En el primer miembro figura el cuadrado del binomio 2ax + b, ya que
(2ax+b)2 = 4a2x2 + 4axb + b2. Por lo que se puede escribir:
(2ax + b)2 = -4ac + b2
5. Extrayendo en los dos miembros la raíz cuadrada, resulta:
6. Despejando x, se llega a la fórmula anunciada:
Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.
De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:

3.1. Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado
A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b2 - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por .
= b2 - 4ac.
Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.
Se distinguen tres casos:
A. > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:

B. = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble:
Por lo tanto, x1 = x2.
C. < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe.
> 0 Dos soluciones distintas
= 0 Solución única doble
< 0 No hay solución
Ejercicio: resolución de ecuaciones de segundo grado
1. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.
Resolución:
1. a = 1; b = -5; c = 6.
La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.

2. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0.
Resolución:
1. Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:
x2 + x - 6 = 0
2. a = 1; b = 1; c = -6
3. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0.
Resolución:
1. En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.
2. Aplicando la fórmula:
3. La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.
4. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0.
Resolución:
1. Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma
ax2 + bx + c = 0.
10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo entre 10:
x2 + 2x + 1 = 0
2. a = 1, b = 2, c = 1
3. Se aplica la fórmula:
Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:
x1 = x2 = -1
Resolución:

1. Se eliminan paréntesis:
2. Multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores, 20:
5 × 3x2 - 4(2x - 4) = 20(2x - 1); 15x2 - 8x + 16 = 40x - 20;
15x2 - 8x + 16 - 40x + 20 = 0; 15x2 - 48x + 36 = 0
3. Dividiendo toda la ecuación entre 3, resulta: 5x2 - 16x + 12 = 0.
4. Aplicando ahora la fórmula:
5. Las dos soluciones son:

6.6. Suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es

Demostración:

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es

Demostración:


El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:


Ejercicio: suma y prod. de las soluciones de una ecuación de segundo grado
1. Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:
Resolución:
a) 2x2 + 7x - 15 = 0; a = 2; b = 7; c = -15


1. Se pasa esta ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0:
20 = x(9 - x) Þ 20 = 9x - x2 Þ x2 - 9x + 20 = 0
2. a = 1; b = -9; c = 20
c) 3x2 + 6x + 3 = 0; en esta ecuación a = 3; b = 6; c = 3.

6.7. Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y producto de sus soluciones
Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente.
Sea S la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:
La ecuación de segundo grado se escribe como ax2 + bx + c = 0. Sustituyendo b y c por su valor: ax2 - aSx + aP = 0
Dividiendo toda la ecuación entre a: x2 - Sx + P = 0
Conociendo la suma S, y el producto, P, de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, la ecuación se puede escribir como:
x2 - Sx + P = 0


Ejercicio: ecuaciones de segundo grado
1. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6.
Resolución:
1. S = 5; P = 6
La ecuación es x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo S y P por sus valores, se obtiene:
x2 - 5x + 6 = 0
2. Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.
S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5
P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6
Luego, efectivamente la ecuación es x2 - 5x + 6 = 0.

2. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x1 = - 2, x2 = 3.
Resolución:
1. S = x1 + x2 = -2 + 3 = 1
P = x1 × x2 = -2 × 3 = -6
2. Sustituyendo los valores de S y P en la ecuación x2 - Sx + P = 0 se obtiene la ecuación x2 - x - 6 = 0.
3. Para comprobarlo basta con resolver la ecuación y observar que sus raíces son
-2 y 3.
3. Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces
Resolución:
1. Multiplicando toda la ecuación por el m.c.m de los denominadores, se obtiene la ecuación equivalente 6x2 - 8x + 15 = 0.
4. Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.
Resolución:
1. La búsqueda de los dos números puede hacerse considerándolos como las dos soluciones de una ecuación de segundo grado.
S = 5; P = -14.
2. Los dos números son las soluciones de la ecuación x2 - 5x - 14 = 0.

Los dos números buscados son 7 y -2.
3. Comprobación: 7 + (-2) = 5 = S
7 × (-2) = -14 = P
Ejercicio: problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado
1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.
Resolución:
1. Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.
2. Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.
3. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.
4. 2x(2x + 2) = 168 Þ 4x2 + 4x - 168 = 0.
5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.
6. Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14
Una solución es 12 y 14.
7. Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12
Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.
El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.
2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.
Resolución:
1. Si x es uno de los números, el otro será 39 - x, puesto que entre las dos han de sumar 39.
2. El producto de los dos números es 380:
x(39 - x) = 380
3. Las soluciones de esta ecuación son:
x(39 - x) = 380 Þ 39x - x2 - 380 = 0 Þ x2 - 39x + 380 = 0
Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19.
Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20.
3. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pta. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?
Resolución:
1. Sea x el número de gomas que se han comprado por 60 pta. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el precio total entre el número de gomas.
sería de 1 pta. menos cada una, entonces se obtendrá:

2. Resolviendo esta ecuación:
è 60x + 180 - x2 -3x = 60x è x2 + 3x - 180 = 0
El número de gomas que se compraron fue 12, ya que una solución negativa para
Si se hubieran comprado 3 gomas más, es decir, 15 gomas, el precio hubiese sido de 4 PTA cada una.
4. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?
Resolución:
1. Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.
del trabajo.
2. Se resuelve la ecuación:
m.c.m. (x, 5 + x, 12) = 12 × x × (5 + x)
12 × (5 + x) + 12x = x(5 + x)
60 + 12x + 12x = 5x + x2
x2 - 19x - 60 = 0
El primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21,75 horas, es decir, 21 horas y
45 minutos.
El segundo obrero tarda 5 horas más, es decir, 26 horas y 45 minutos.

5. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.
Resolución:
1. Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma
(x - 3) (x - x2) = 0, donde x2 es la segunda solución de la ecuación.
2. Desarrollando el producto: x2 - x × x2 - 3x + 3x2 = 0.
3. El término independiente es 3x2, y vale 15.
4. La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 Þ x2 - 8x + 15 = 0.
6. Determinar el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz doble.
Resolución:
1. Una ecuación de segundo grado tiene una raíz doble si su discriminante es cero.
= b2 - 4ac = 0
2. La ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tiene una raíz doble si m = 2.
7. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calcular el área y perímetro del cuadrado inicial.
Resolución:
1. Sea l el lado del cuadrado. El área será S = l 2.
2. Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, l + 4, su área será (l + 4)2.
3. Al hacer la transformación, el área aumenta en 104 cm2, es decir: l 2 + 104 = (l + 4)2
4. Se resuelve la ecuación l 2 + 104 = l 2 + 16 + 8l .
5. Simplificando l 2 en los dos miembros, resulta una ecuación de primer grado:
6. El área del cuadrado inicial es S = l 2 = 112 = 121 cm2
7. El perímetro del cuadrado inicial es P = 4 × l = 4 × 11 cm = 44 cm.

Ejercicios Propuestos


1.
2.